La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est

La géométrie d'incidence et la géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilisent une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leur sont associées.
La géométrie analytique, qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplets (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un corps.
L'algèbre linéaire, qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits.
La géométrie des groupes, qui étudie les actions de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux, par exemple). La théorie des invariants est intimement liée à cet aspect de la géométrie : elle permet d'associer à des configurations des quantités (birapports, distances, angles, etc.) qui permettent de classer les orbites. On peut aussi étendre cette approche à la géométrie des groupes exceptionnels (algébriques ou de Lie).
La théorie des immeubles (en) de Tits, qui est liée à la géométrie des groupes classiques et exceptionnels (algébriques ou non), et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est un immeuble, et l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces projectifs d'un espace projectif P de dimension finie sur corps commutatif qui sont inclus dans une même quadrique projective de P est un immeuble.
Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitienne, etc.) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

Autres types de géométries[modifier | modifier le code]
Il y a des branches des mathématiques qui sont issues de l'étude des figures des espaces euclidiens, mais qui se sont constituées en branches autonomes des mathématiques et qui étudient des espaces qui ne sont pas nécessairement plongés dans des espaces euclidiens :

la topologie ;
la géométrie différentielle, qui utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire, et qui étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du calcul différentiel et du calcul intégral. La géométrie différentielle englobe la géométrie riemannienne et la géométrie symplectique;
la géométrie algébrique, qui utilise l'algèbre abstraite et la topologie et qui étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des équations algébriques, tels les sous-espace affines, les coniques et les quadriques ;
la géométrie non commutative.
Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique.

Conception de la géométrie[modifier | modifier le code]
La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures »1. Cette définition est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'époque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane2, cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'espace ».

La géométrie euclidienne, qui est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle ;

Enfin, depuis le début du xxe siècle, certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle, et géométrie algébrique, par exemple.

Si on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une quelconque communauté de méthodes ou d'objets.

Obtention de la section conique par la projection de deux sphères de diamètres distincts (voir le théorème de Dandelin).
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Étymologie[modifier | modifier le code]
Le terme géométrie dérive du grec de ?e?µ?t??? (geômetrês) qui signifie « géomètre, arpenteur » et vient de ?? (gê) (« terre ») et µ?t??? (métron) « mesure »). Ce serait donc « la science de la mesure du terrain ».

Grandes divisions de la géométrie[modifier | modifier le code]
Géométrie classique[modifier | modifier le code]
Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la géométrie ou encore géométrie classique englobe principalement :

La géométrie euclidienne, qui est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle ;
La géométrie affine, qui est l'étude des points et des droites, mais sans les notions de distance et d'angle ;
La géométrie projective, qui ajoute aux espaces de la géométrie affine des points à l'infini ;
La géométrie non euclidienne, qui est une variante de la géométrie euclidienne et n'en diffère que par la modification de l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. Cette géométrie est contraire à l'intuition usuelle. Elle comprend la géométrie hyperbolique, la géométrie elliptique et la géométrie sphérique.
Les géométries ci-dessus peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changeant le corps des scalaires (utiliser des droites différentes de la droite réelle) ou en donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dites classiques.

Par ailleurs, la géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons.

Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font

Fractale possédant une symétrie d'échelle et une symétrie centrale.
Les Occidentaux associent une certaine beauté aux figures symétriques. Une symétrie d'une figure géométrique est, intuitivement, l'existence d'un motif de la figure qui se répète suivant une règle précise, tout en étant partiellement transformé. Mathématiquement, une symétrie est l'existence d'une action non triviale d'un groupe, très souvent par isométrie, c'est-à-dire qui préserve les distances sur la figure. En d'autres termes, l'intuition de la règle est mathématiquement réalisée par le fait que c'est un groupe qui agit sur la figure, et le sentiment qu'une règle régit la symétrie est précisément dû à la structure algébrique de ce groupe.

Par exemple, le groupe lié à la symétrie miroir est le groupe cyclique à deux éléments, Z/2Z. Un test de Rorschach est une figure invariante par cette symétrie, de même qu'un papillon et plus généralement le corps des animaux, du moins en surface. Lorsqu'on dessine la surface de la mer, l'ensemble des vagues possède une symétrie par translation : bouger notre regard de la longueur séparant deux crêtes de vagues ne change pas la vue que l'on a de la mer. Un autre cas de symétrie, cette fois non isométrique et presque toujours seulement approximative, est celui présenté par les fractales : un certain motif se répète à toutes les échelles de vision.

Vulgarisation[modifier | modifier le code]
Article détaillé : Vulgarisation.
La vulgarisation mathématique a pour objectif de présenter les mathématiques en un langage dénué de termes techniques. Comme l'objet d'études des mathématiques n'est pas réel, elle use souvent d'un vocabulaire imagé, et de comparaisons ou analogies non rigoureuses, pour faire sentir l'idée des développements mathématiques. Parmi les ouvrages qui se fixent ce but, citons Oh, les maths de Yakov Perelman et Le livre qui rend fou de Raymond Smullyan. Toutefois, les mathématiques font rarement l'objet de vulgarisation dans des journaux écrits ou télévisés.

La revue Tangente, l'aventure mathématique est le principal magazine de vulgarisation mathématique édité en France.

La revue Images des mathématiques, soutenue par le Centre national de la recherche scientifique (CNRS), relève également le défi. Elle fait découvrir au plus grand nombre la recherche mathématique contemporaine et son environnement.

La revue Accromath18 est soutenue par l'Institut des sciences mathématiques et le Centre de recherches mathématiques de Montréal. Elle s'adresse principalement aux élèves et enseignants d'école secondaire et de cégep et est distribuée gratuitement au Québec.Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne).

Depuis la fin du xviiie siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne, par exemple).

figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Expression artistique[modifier | modifier le code]

Page couverture du Traité de l’harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau.
Les notes qui sonnent bien ensemble à une oreille occidentale sont des sons dont les fréquences fondamentales de vibration sont dans des rapports simples. Par exemple, l'octave est un doublement de fréquence, la quinte une multiplication par 3/2.

Ce lien entre les fréquences et l'harmonie a été notamment détaillé dans le Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels de Jean-Philippe Rameau17, compositeur baroque français et théoricien de la musique. Il repose en partie sur l'analyse des harmoniques (notées 2 à 15 dans la figure suivante) d'un son fondamental Do grave (noté 1), les premières harmoniques et leurs octaves sonnant bien entre elles.

Les harmoniques sur une portée.
Si la courbe tracée en rouge, qui suit les notes harmoniques, a une allure logarithmique, cela correspond au rapport entre deux phénomènes :

d'une part, la représentation de la hauteur d'un son par notre système auditif qui est proportionnelle au logarithme de la fréquence du son (une fréquence double correspond toujours à la même « distance sonore » appelée octave) ;
d'autre part, les fréquences harmoniques qui sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale.

Les mathématiques sont aussi une composante de l'ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens

Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique. Le postulat fondamental de cette discipline est que l'activité économique peut se comprendre à partir d'un axiome de nature anthropologique, celui de l'acteur individuel rationnel. Dans cette vision, chaque individu cherche par ses actions à accroître un certain profit, et ce de façon rationnelle. Cette sorte de vision atomiste de l'économie permet à celle-ci de mathématiser relativement aisément sa réflexion, puisque le calcul individuel se transpose en calcul mathématique. Cette modélisation mathématique en économie permet de percer à jour des mécanismes économiques qui n'auraient pu être découverts que très difficilement par une analyse « littéraire ». Par exemple, les explications des cycles économiques ne sont pas triviales. Sans modélisation mathématique, on peut difficilement aller au-delà du simple constat statistique ou des spéculations non prouvées. Toutefois, certains sociologues, comme Bourdieu, et même certains économistes, refusent ce postulat de l'homo œconomicus, en remarquant que les motivations des individus comprennent non seulement le don, mais dépendent également d'autres enjeux dont l'intérêt financier n'est qu'une partie, ou tout simplement ne sont pas rationnelles. La mathématisation est donc selon eux un habillage permettant une valorisation scientifique de la matière.

On assiste également au début du xxe siècle, à une réflexion pour mettre les mouvements historiques en formule, comme le fait Nikolaï Kondratiev qui discerne un cycle de base pour expliquer les phases d'expansion et de crise en économie politique, ou Nicolas-Remi Brück et Charles Henri Lagrange12 qui, dès la fin du xixe siècle, ont amplifié leur analyse jusqu'à pénétrer dans le domaine de la géopolitique en voulant établir l'existence, dans l'histoire, de mouvements de vaste amplitudes qui mènent les peuples à leur apogée, puis à leur déclin13

Cependant une mathématisation des sciences humaines n'est pas sans danger. Dans l'essai polémique Impostures intellectuelles, Sokal et Bricmont dénoncent la relation non fondée ou abusive d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines. L'étude de systèmes complexes (évolution du chômage, capital d'une entreprise, évolution démographique d'une population…) fait appel à des connaissances mathématiques élémentaires mais le choix des critères de comptage, notamment dans le cas du chômage, ou de la modélisation peut être sujet à polémique.

Astrologie, ésotérisme[modifier | modifier le code]
Les mathématiques ont entretenu pendant longtemps des liens très étroits avec l'astrologie. Celle-ci, par le biais de thèmes astraux, a servi de motivation dans l'étude de l'astronomie. Des mathématiciens de renom furent également considérés comme des grands astrologues. On peut citer Ptolémée, les astronomes de langue arabe, Regiomontanus, Cardan, Kepler, ou encore John Dee. Au Moyen Âge, l'astrologie est considérée comme une science se rangeant dans les mathématiques. Ainsi Theodor Zwingler signale dans sa grande encyclopédie, concernant l'astrologie, que c'est une science mathématique traitant du « mouvement actif des corps en tant qu'ils agissent sur d'autres corps » et réserve aux mathématiques le soin de « calculer avec probabilité les influences [des astres] » en prévoyant leur « conjonctions et oppositions »14. Les théories astrologiques occidentales contemporaines se targuent de suivre des méthodes scientifiques. En particulier, l'astrologie statistique utilise les tests statistiques pour mettre en évidence d'éventuelles corrélations entre la position des astres et le devenir des hommes. Toutefois, ces études initiées par Choisnard et Gauquelin, menées à la marge de la recherche scientifique, n'ont, en date de 2009, pas été productives et n'ont réussi à donner aucune preuve recevable d'un lien de cause à effet.

Les mathématiques sont aussi une composante de l'ésotérisme. Très fréquemment, les mathématiciens eux-mêmes ont été tentés de trouver dans la figure ou le nombre un sens caché servant de clé dans la découverte du monde. Dans l'école pythagoricienne, chaque nombre a une signification symbolique et le serment des initiés se serait énoncé devant une tretraktys15 De même Platon ne se contente pas d'énumérer les solides qui portent son nom il attribue à chacun d'eux une nature (eau, terre, feu, air, univers)16. L'arithmosophie, la numérologie, la gématrie, l'arithmancie tentent, à travers des calculs sur les nombres, de trouver des significations cachées à des textes ou d'en extraire des propriétés prédictives. On retrouve cette fascination pour le nombre et la figure encore de nos jours où certains attribuent des vertus cachées à un pentacle ou un nombre d'or.

Impact culturel[modifier | modifier le code]

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A relire
Par Le fond et la forme
Je voudrais rendre hommage à Jacques Marseille disparu récemment.Ce livre date de 2004 et dressait déjà un constat précis et solide. Avant dedébattre des intentions et des divers "-ismes" sachons poser un vrai constat.En historien de l'économie, Jacques Marseille l'a fait brillamment dans ce livrequi n'a pas vieilli à de nombreux égards.Les crises financières sont arrivées et presque une décennie s'est écoulée. Ladéprime est toujours là. Le constat général aussi. Cependant, l'urgence deschangements s'est accrue car les immobilismes sont devenus de douloureusescrispations.A relire.

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Rigueur et percussion
Par Cantate
L'ouvrage date un peu (2005), mais les maux de la France qu'analyse Jacques Marseille sont toujours là : école en déshérence, système de santé en faillite, syndicats omnipotents.La démonstration est toujours suivie de chiffres clairs, d'arguments précis et rigoureux. Jacques Marseille démontre sa thèse avec beaucoup de rigueur. Il est passionné, et sait rendre les chiffres et l'économie passionnants.

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Rigueur et passion !
Par bir-hacheim
On ne peut qu'apprécier chez jacques Marseille son approche SYSTEMATIQUEMENT appuyée par des chiffres des thèses qu'il propose. Il est libéral convaincu mais il démontre avec rigueur son approche de l'économie et de la société française. Parti pris, très certaiement mais d'une si belle manière !

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